Mathématiques et d'intégrer surface

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La différenciation et l'intégration des fonctions sont les piliers de mathématiques. En particulier dans la physique d'intégrer tous les jours. Le dérivé donne une indication de l'augmentation / diminution à un certain point. L'intégrale donne une indication d'un certain «total», que la fonction, par exemple, provoque, dans le temps. Ce est de faire facilement visible en regardant la surface entre le graphique et l'axe horizontal.

L'intégrale

Détermination de l'intégrale d'une certaine fonction est appelée à intégrer. L'intégration est une opération mathématique de la plus importante qui sont utilisés dans la technique. Il a été inventé à la même époque dans le 17ème siècle par Leibniz et Newton.

Lorsque la vitesse d'un coureur à tout moment est connue, la distance parcourue dans un certain délai, peut être calculée en utilisant l'intégrale compte. Pour déterminer cette distance nous pouvons multiplier la vitesse du coureur avec le temps dans lequel il a été exécuté: s = v * t.

Supposons pas été constante la vitesse du coureur, mais variable; Au début, il devança la fin. On peut maintenant déterminer la distance en divisant le temps en petits morceaux At, et à chaque fois pour une courte distance pour effectuer la multiplication. Pour la vitesse, nous prenons la vitesse au moment de At:

Δs = v At *

La distance totale est alors:

s = Σ Σ Δs = v At *

Le coureur comme un exemple: Au total il court 1 heure. Dans la première moitié de la période est son heure la vitesse 15 km / h et dans la deuxième demi-heure à 10 km / h. Puis la distance totale sera:
s = + Δs1 Δs2 = v1 + v2 At1 At2 = 15 * 10 * 1/2 + 1/2 = 7,5 + 5 = 12,5 km.

Σ moyens de sommation ou de comptage. Cette sommation est un exemple de compte intégré. Quand nous choisissons At plus en plus petit, les résultats seront toujours exactes. Par conséquent on prend en mathématiques la limite At -> 0.
La notation générale en mathématiques est une intégrale:

  • ∫ f dx

Nous pouvons dire en langage mathématique:

  • ∫ f dx = Σ

Il est utilisé pour indiquer qu'une citation est effectuée infiniment petits morceaux FDX. Le dx représente infiniment petit morceau de l'axe des x. Une intégrale est généralement calculé entre deux points; par exemple, entre x = a et x = b. Ce est ce qu'on appelle un intervalle.

Surface

Quand nous faisons le compte intégrante montre visuellement combien il est facile. L'intégrale ci-dessus est égale à la surface entre la fonction f et l'axe des x -sur un certain intervalle. Si nous prenons l'intervalle x = 0 à x = 7. Si x = 1, alors nous portons un total de 8 fois de la multiplication fΔx. Elle est identique à huit fois un petit morceau de surface comprise entre f et l'axe des x. Nous supposons que f est un court intervalle est constante.

Le total intégrale, ou la surface totale, est égale à la somme de ces surfaces 8. Une telle somme est aussi appelée somme de Riemann. Bien entendu, la somme est la plus précise, si les pièces Ax être choisis aussi faible que possible. Ce est le cas lorsque nous calculons ∫fdx.

Lorsque permis de calculer des intégrales et résoudre ordinateur, l'ordinateur choisit souvent une somme de Riemann. Un ordinateur optimal pour effectuer de nombreux calculs très rapidement l'une après l'autre: la somme de f Σ * Ax peut être utilisé pour un grand nombre de petits morceaux de Ax peut être calculée facilement. Cependant, il ya également de nombreuses fonctionnalités standard avec des solutions standards pour les intégrales définies. Pour un tel une norme utilise la fonction appelée aussi primitive.

Primitives connues

L'intégrale d'une fonction donnée est aussi appelé primitif, et est dénommé F. Le dérivé de F est exactement égale à f. Donc, fondamentalement, l'intégration de l'inverse de la différentiation.
Quand nous avons besoin pour déterminer l'intégrale de l'intervalle de la fonction f alors:

  • ∫ FDX, x = F - F
  • d / dx = F F '= f

Parmi les fonctions mathématiques courantes, les primitives sont connus. L'accent circonflexe ^ signifie «le pouvoir», et a et b sont des constantes:

  • a -> ax + b
  • nx ^ -> x ^ n + b
  • 1 / x -> + b ln
  • cos -> + b sin
  • -sin -> cos + b
  • 1 / cos² -> + b tan
  • e ^ x -> e ^ x + b
  • LNA ^ x -> a ^ x + b

Applications connues

  • L'intégration de la vitesse au temps délivre le déplacement
  • L'intégration de l'accélération à la fois la vitesse délivre
  • L'intégration du courant électrique à la fois délivre la cargaison
  • L'intégration de l'intensité du champ électrique pour placer les fournitures de la tension
  • L'intégration de la puissance à la fois pour fournir de l'énergie


Cooper test

Une formation connue pour les coureurs est le test de Cooper. Dans cette formation, il se agit autant que possible de marcher en 12 minutes. Sur la base de la distance parcourue pour déterminer la manière dont il est à l'état de la moquette. Pour un coureur masculin de moyenne d'âge est de 2 à 2,5 km d'un score raisonnable. Un bon score est atteint à des distances de 2,4 à 2,8 km.

Prenez avec intégrante somme de Riemann
Dans la figure sont représentés deux coureurs chacune d'environ 2,5 km sont venus en 12 minutes. La distance peut être facilement déterminé en examinant l'aire sous la fonction vitesse-temps. 1 coureur lancé le test à la même vitesse, soit 12,5 km / h.

  • coureur de fond 1 = 12,5 kilomètres par heure * 12 min = 12,5 * 0,2 heures = 2,5 km

Runner 2 a commencé avec enthousiasme dans le début, il était 15 kmh mais il tomba bientôt dans un plongeon. Après 6 minutes, il marchait à seulement 4 km / heure, puis il a récupéré à nouveau. Par la somme de Riemann de deux calculer coureur nous arrivons à:

  • coureur de fond 2 = 15 kmh * 1 min + 12,5 kilomètres par heure * 1 min + 10 kmh * 1 min + 8 kmh * 1 min + ............ . = 2,25 km

Calculer intégrante
Nous prenons l'unité de temps pendant des heures au lieu de minutes, ce qui est plus facile comptent. Nous soutenons que la fonction de vitesse de 1 coureur et le coureur 2 sont:

  • f1 = 12,5
  • f2 = cos 10 + 5

alors la distance 1 et 2 est facile à calculer:

  • Distance 1 = ∫ f1 dt = ∫ 12,5 dt = | = - = 2,5 km
  • la distance 2 = ∫ ∫ f2 dt = 10 + 5 cos dt = [10 * t + 1 / 10π * sin | = - = 2 km

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