Explique simplement le développement en série de puissance d'une fonction

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Plusieurs fonctions peuvent être transformées par une transformation appropriée en une série de puissance. Mais comment cela fonctionne-t exactement et quelle est la procédure? Vous verrez l'expansion de la série de puissance ne est pas si difficile si vous suivez un certain rythme et cela avez calculées indépendamment.

Le développement d'une fonction dans une série Mac Laurinsche

Bien entendu, il ne peut pas y avoir de fonction dans une série de puissances. Plutôt, une fonction doit répondre à certains critères, de sorte que cette méthode peut être appliquée à tous. Depuis la quasi-totalité des fonctions simples que vous rencontrerez dans la vie quotidienne, de répondre à ces critères, cette étape est omise facile. Cependant, vous verrez bientôt que la fonction considérée dans le voisinage du site de développement doit être infiniment différentiables dans tous les cas.

  1. Supposons qu'une fonction arbitraire f peut être unique se développer dans une certaine série de puissance. Ensuite, cette fonction peut être représentée comme une fonction de puissance. La règle est: f = a0 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + a4x4 + ...
  2. Il développer le point x0 = 0 est d'abord examiné. Dans la zone autour de ce point du développement, la fonction doit être infiniment différentiables.
  3. Maintenant, vous pouvez déterminer les dérivées de la fonction. f '= a1 + 2a2x1 3a3x2 + + + 4a4x3 ..., f' '= 2a2 + + + 6a3x1 12a4x2 ..., f' '' = 6A3 + + 24a4x ..., f '' '' = 24a4 ... +
  4. A la position x0 développement = 0 alors: f = a0, f '= A1, f' '= 2a2, f' '' = 6A3, f '' '' = 24a4 ...
  5. Si vous regardez les coefficients d'attention, vous remarquerez qu'ils se comportent comme la Faculté n∈N = 1, 2, 6, 24, 120, ... et se applique également = 1).
  6. Gardez cela à l'esprit lors de la conception de la fonction, vous obtenez f = a0, f '= a1, f' '= a2, f' '' = a3, f '' '' = a4.
  7. Maintenant mis chacun pour les coefficients à, puis obtenir a0 = f / 0!, A1 = f '/ 1!, A2 = f' '/ 2!, A3 = f' '' / 3!, A4 = f ' '' '/ 4 ... !,
  8. Vous voyez, les coefficients satisfont à la Loi sur l'éducation d'un = f / n!
  9. Vos nouveaux résultats peuvent maintenant être transférés à la fonction de sortie f, nous avons donc f = f / 0! + * X1 + x2 + x3 + x4 + ... = Σn = 0 xn. Cette série infinie est appelée série Mac Laurinsche.
  10. Qu'est-ce que vous obtenez cette information maintenant? Vous devez pour toute fonction qui peut être développé dans une fonction de puissance, seulement déterminer les dérivations et vous pouvez afficher cette fonction comme une série infinie.

Développement en série de puissance de f = sin: Exemple

La meilleure façon de comprendre le schéma ci-dessus, si vous l'appliquez le même dans un exemple simple. Considérez ceci la fonction f = péché. Comme vous le savez, cette fonction est infiniment différentiable.

  1. Tout d'abord, déterminer les quatre premiers dérivés. Nous avons f '= cos, f' '= -sin, f' '' = cos, f '' '' = sin ... A partir de là, tout se répète en quatre temps.
  2. Regardons maintenant la x0 développement = 0, alors il n'y a f = 0, f '= 1, f' '= 0, f' '' = -1, f '' '' = 0 ...
  3. Maintenant, ajoutez les rejets dans le Mac Laurinsche une rangée. f = Σn = 0 xn = x1 + 0/1! + 0 x3 / 3! + 0 + x5 / 5! + ... = x1 / 1! -X3 / 3! + x5 / 5! + ... = Σn = 0 nx2n + 1 /!
  4. Ainsi, vous obtenez une série alternée dont la convergence pourriez-vous prouver, par exemple, avec le critère Leibniz. Chaque élément deuxième rangée est omis à cause du péché = 0. Vous pouvez tout à fait analogue la série de puissance de déterminer le cosinus (solution: Σn = 0 nx2n /).

Exemple: le développement de f = f dans une série de puissances

  1. Le développement de l'ex dans une série de puissance est particulièrement simple. Nous avons f = f = ex ∀ n∈N.
  2. Procédez de la même façon, alors vous obtiendrez pour f = E0 = 1, la série suivante: f = 1 + x1 + x2 + x3 + ... = Σn = 0 xn / n!

Lauri de la série Mac de la série Taylor

Dans la série de Mac Lauri vous avez seulement le x0 spécial de développement = 0 est considéré. Dans l'étape suivante, cette restriction doit être levé et tout point de développement x = x * être envisagée.

  • En principe, vous faites les mêmes considérations que dans le calcul de la série du Mac Lauri.
  • Vous obtenez la série de puissance f = f + (f '/ 1!) 1+ (f' '/ 2!) 2+ (f' '' / 3! 3 + ... = Σn = 0 n avec x * comme un point de développement.

Pour x * = 0, la série de Taylor qui se passe dans la série Mac Laurinsche. La série Mac Laurinsche est un cas particulier de la série de Taylor. Dans la pratique, la série de Taylor est beaucoup plus répandue que la série Mac Laurinsche depuis un centre de développement arbitraire est possible. Mais pour mieux comprendre et pour la dérivation, il est utile d'examiner d'abord une version simplifiée de la série.

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