Les systèmes d'élimination de Gauss d'équations linéaires simplement expliqué

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Systèmes d'équations linéaires que vous rencontrez pour la première fois en milieu scolaire à l'école secondaire. A partir de là, vous rencontrerez des systèmes d'équations linéaires, sauf si vous optez pour une carrière technique ou êtes souvent confronté à des problèmes mathématiques. Pour la solution simple et unique de systèmes d'équations de l'algorithme de Gauss.

A savoir à propos des systèmes d'équations linéaires

Si vous disséquer le terme «système linéaire" dans les différentes parties de mots, vous obtenez une idée simple assez sur ce qu'est un LGS est.

  • A LGS se compose de plusieurs équations linéaires qui contiennent plusieurs paramètres inconnus auparavant. Linéaire signifie que les paramètres apparaissent dans les pouvoirs ou les racines. Par exemple, x1 + 2x22 = 3 ne fait pas partie d'un système d'équations linéaires, l'équation parce que le paramètre x2 se produit dans le second bloc.
  • Les différentes équations peuvent être établies par la modélisation ou ils sont simplement donnés la tâche. Par exemple, dans un camion de livraison de trois pièces sont livrées, les prix ont p1 = 1 €, p2 = p3 = € 2 et € 3. La valeur totale de la commande est de 1.000 euros. Cette information peut être résumée dans une équation 1x1 + 2x2 + 3x3 = 1,000, où x1, x2 et x3 correspondent aux premières quantités inconnues de trois parties.
  • De cette façon, les équations supplémentaires peuvent être mis en place. Il serait concevable, l'encombrement des pièces et le volume d'un camion dans cet exemple.
  • Après toutes les équations linéaires ont été mis, il va à la solution de la LGS, déterminant ainsi les paramètres inconnus x1, x2 et x3. Voici l'algorithme gaussien arrive en jeu, avec lequel vous pouvez résoudre étape par étape l'LGS selon un calendrier défini.
  • Pour la solution d'un système linéaire d'équations, il existe trois possibilités. Si vous avez un peu de pratique, vous verrez avant d'appliquer le régime de la solution, si un LGS n'a pas ou une infinité de solutions.
  • Le LGS avec le deux équations x1 + x2 = 1 et x1 + 2x2 = 1 par exemple, n'a pas de solution, puisque les deux équations ne peuvent pas être satisfaites simultanément. Exactement une solution, il est, si le nombre de paramètres inconnus est égal au nombre d'équations, aucun conflit ne existe et toutes les équations sont linéairement indépendants. Le rang de la matrice LGS associé est alors simplement égal au nombre d'inconnues. Est le rang inférieur, il ya une infinité de solutions.

Exemple d'application de l'algorithme de Gauss

  1. En modélisant un problème, vous avez les trois équations 2x1 + x2-3x3 = 6, x1-2x2-x3 = 2 et -4x1-2x2 + 6x3 = -12 situé.
  2. Ces trois équations Ecrire entre eux. Dans les applications de l'algorithme de Gauss maintenant éliminer progressivement les variables. Vous savez qui ne change pas par des transformations élémentaires sur les lignes de l'espace des solutions.
  3. Maintenant, écrivez la première équation de la même. Les deuxième et troisième équation, de sorte que se multiplient ces nouvelles équations contenues dans une addition à la première ligne de x1 pas plus. Multipliez la deuxième équation de -2 et ajoutez-il si la première ligne. De même, vous divisez la troisième équation par deux et l'ajouter à la première équation.
  4. Dans la prochaine étape, vous avez deux équations dans laquelle seuls les paramètres apparaissent x2 et x3. Maintenant, écrivez la deuxième équation et multiplier le troisième équation dans la façon dont un ajout à la deuxième équation juste x2 est éliminé. Auriez-vous plus d'équations, nous procédons par analogie.
  5. Dans la dernière équation, alors vous ne avez que le variable x3 êtes, vous pouvez maintenant déterminer. En substituant le résultat dans les deux autres équations pour obtenir les valeurs de x2 et x1.
  6. Dans cet exemple, cependant, il se produit un cas particulier. Si vous divisez le troisième équation 2 à l'étape 3 et ajoutez à la première équation, vous venez de 0x1 + 0x2 + 0x3 = 0. Ce est une raison simple: l'équation 1 et l'équation 3 sont linéairement dépendants, depuis le troisième équation, vous obtenez si vous multipliez la première équation de -2.
  7. Vous pouvez glisser et de savoir que le rang ne est que 2 et le LGS a une infinité de solutions se il ne ya pas de contradiction existe la ligne zéro.
  8. Ainsi, après l'étape 3 et 6 ont la deux équations 2x1 + 5x2 = 6 et x2-3x3-x3 = 2. Vous avez un degré de liberté. Entrez dire x1 et x2 en fonction de x3 et vous avez terminé.
  9. De la deuxième équation suivante x2 = 2/5 + 1 / 5x3.
  10. Si, x2 dans la première équation, on obtient: 2x1 + 2/5 + 1 / 5x3-3x3 = 6. Le calcul de rendement: x1 x1 = 14/5 + 7 / 5x3.
  11. L'espace de solution peut ainsi préciser par L = {}. Il ya une infinité de solutions. Pour x3 = 1, par exemple, donne la solution. Comme un test, vous pouvez utiliser cette solution dans les équations originales et de trouver qu'il ya effectivement une solution de la LGS avec cette solution.

Exécutez l'algorithme gaussien dans d'autres exemples afin d'intérioriser. Les valeurs numériques que vous pouvez définir vous-même.

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