Résoudre ce problème en mathématiques des valeurs extrêmes - dose optimale

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La boîte optimale - ce est un problème de valeur extrême typique en mathématiques, qui vise à faire une boîte avec aussi peu de matériau.

La boîte optimal - un problème de valeur extrême

Les fabricants veulent utiliser aussi peu de matériau pour les boîtes et canettes de bière devrait être gérable. Alors, comment avoir les dimensions d'un corps cylindrique peut pour contenir 0,5 l être choisi de telle sorte qu'il faut le moins de matière possible pour cela? Et les fabricants respectent ces dimensions optimales du tout? Cette tâche peut sembler absurde, parce que même un coup d'œil à des doses durée montre que les fabricants et les grandes doses font l'uniforme, afin de choisir la même hauteur et le diamètre. Mais ce est peut-être seulement pour les machines de remplissage standard? Ou parce que les boîtes sont juste à portée de main dans la forme choisie?

  1. Ces questions peuvent être examinées en mathématiques. Bref, la tâche est: Quel est le diamètre et la hauteur de ce qui doit être choisi pour la CAN cylindre de sorte que la boîte a un volume de 0,5 l résume et la surface est aussi faible que possible.
  2. Ce est un problème de la valeur extrême avec parfait état avec une contrainte.
  3. Lorsque cela se produit, vous devez d'abord mis en place à la fois contrainte majeure comme une égalité. Dans ce cas, le rayon r du cercle et un cylindre de hauteur h du cylindre sont les deux inconnues.
  4. Les formules pour le volume V et la surface d'un cylindre F, vous pouvez regarder dans le formulaire. Notez que la surface d'un cylindre des deux cercles et un rectangle existe.
  5. Il est V = R² ¶ * h = 500 cc R² comme une contrainte, et F = 2 ¶ ¶ + 2 h * r que la principale condition d'être minime.
  6. La condition principale contient initialement l'deux inconnues r et h. De la contrainte, vous pouvez séparer l'un des deux inconnues et l'insérer dans la principale condition. La méthode est similaire à l'insertion de deux équations à deux inconnues. Seulement vous avez à faire ici avec fonctions.
  7. Vous obtenez h = 500 / ¶ R² et le mettre dans la surface F.
  8. F = 2 + 2 ¶ ¶ R² r * = 2 ¶ r² + 1000 / r, qui est, la surface de votre boîte dépend désormais uniquement sur le rayon.
  9. Selon l'objet, la surface devrait être minime, alors regardez une valeur extrême de cette fonction.
  10. For'll vous prendre de F par les variables r et mettre le dérivé à zéro.
  11. Calculer F '= 4 ¶ r - 1000 / r².
  12. Pour un extremum se applique: 4 ¶ r - 1000 / r² = 0e
  13. De cela, vous pouvez calculer R³ = 250 / ¶ et r = 4,3 cm. Donc votre minimum boîte a un diamètre d'environ 9 cm.
  14. La hauteur h de la peut calculer maintenant de la contrainte h = 8,6 cm. Diamètre et la hauteur en conviennent.

Mathématiques et la réalité - un examen critique le résultat

Mais qui ressemble à une canette de bière vraiment, à peu près aussi haute que large? La vie quotidienne contredit le résultat de mathématiques clairement les doses sont plus élevés en proportion, si étroit et bien sûr à portée de main. Que ce soit ici le client est au premier plan, reste incertain. Et encore une chose que vous devriez considérer: canettes de bière ne sont pas remplis vers le haut, ce est à dire supérieure à 500 ml. En outre, bien sûr, la forme de cylindre idéale est donnée.

  • Cependant, ce ne était pas quelque chose pris en compte dans la consommation matérielle: Il est trash! Lors de la coupe les cercles qu'il a créé. Se il est refondu ou éliminés, ne est pas connue. Quoi qu'il en soit, il est une perte pour la société. Peut-être que vous calculez le problème de la valeur extrême de la boîte optimal à nouveau à la lumière de ces déchets.
  • Ensuite, il faut savoir la surface de deux cercles, deux carrés mais en plus de la surface du cylindre rectangulaire. Il en résulte dans ce cas r = 4 cm et h = 10 cm, la boîte est donc plus étroit et plus haut. Ce est surprenant déjà!
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